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2014-1-10 17:31
让·泊肃叶

摘要 : 泊肃叶定律(Poiseuille's law)也称为哈根-泊肃叶定律(Hagen-Poiseuille's law),是描述流体流经细管(如血管和导尿管等)所产生的压力损失,压力损失和体积流率、动黏度和管长的乘积成正比,和管径的四次方成反 ...

习斋2014-1-10 17:3118590

泊肃叶定律(Poiseuille's law)也称为哈根-泊肃叶定律(Hagen-Poiseuille's law),是描述流体流经细管(如血管和导尿管等)所产生的压力损失,压力损失和体积流率、动黏度和管长的乘积成正比,和管径的四次方成反比例。泊肃叶定律是让·泊肃叶于1838年和戈特希尔夫·哈根于1839年分别实验独立发现的,并于1840年和1846年发表。

让·泊肃叶

泊肃叶定律的应用前提有三:

  1. 假设液体是不可压缩流体;
  2. 假设液体是牛顿流体,即它的粘滞系数不随流速而改变;
  3. 假设液体的流动是层流,而不是湍流,即管的直径不能太大。


以下是用标准流体力学表示法下的泊肃叶定律:

 \Delta P = \frac{8 \mu L Q}{ \pi r^4}

 \Delta P = \frac{128 \mu L Q}{ \pi d^4}

其中

\Delta P 是压力损失
L是细管长度
 \mu 是动黏度
Q是体积流率
r是半径
d是直径

物理表示法

 \Phi = \frac{dV}{dt} = v \pi R^{2} = \frac{\pi R^{4}}{8 \eta} \left( \frac{- \Delta P}{\Delta x}\right) = \frac{\pi R^{4}}{8 \eta} \frac{ |\Delta P|}{L}

其中的单位如下,单位则是以相容的单位为主(例如国际单位制)

 \Phi 是体积流率(标准流体力学表示法中的Q
V(t)是流过的液体体积函数,参数为时间t
v是沿着细管的平均流体速度
x是沿着流体流动方向的距离
R是细管的内半径
\Delta P 是细管两端的压力损失
\eta 是动黏度,SI制单位为Pa·s
L是细管的长度

此公式在细管进口段的误差较大。

此公式不适用在低黏度、短管或宽管的条件下。低黏度或宽管的条件会产生紊流,因此需要用到像是达西-韦史巴赫方程之类较复杂的模型。若管子太短,泊肃叶定律会计算出不实际的高体积流率。此公式所计算出的流体流率,被限制在较宽松条件的伯努利定律结果之内:

\Phi_{max} = \pi R^2 \sqrt{2 \Delta P / \rho}


推导


泊肃叶定律可以由纳维-斯托克斯方程推导而来,但若已知管子中的层流,其速度分布呈抛物线:

 v = - \frac{1}{4 \eta} \frac{\Delta P}{\Delta x} (R^2 - r^2)

在相同直径处的速度也会相同,因此将相同直径处的流体视为一薄层,流过薄层流体的体积流量等于速度乘以薄层的截面积:

 \Phi (r)dr =  \frac{1}{4 \eta} \frac{|\Delta P|}{\Delta x} (R^2 - r^2) 2 \pi rdr = \frac{\pi}{2 \eta} \frac{|\Delta P|}{\Delta x} (rR^2 - r^3)dr

再将上述的量对半径r积分,即可得到总流量。

 \Phi = \frac{\pi}{2 \eta} \frac{|\Delta P|}{\Delta x} \int_{0}^{R} (rR^2 - r^3)\, dr = \frac{|\Delta P| \pi R^4}{8 \eta \Delta x}

和达西-韦史巴赫方程的关系

泊肃叶定律不只是有关压力损失和流速的公式,也和管子中的层流,其速度分布呈抛物线有关。不过只要推定紊流下的有效紊流黏度,也可以将上述压力损失的公式延伸到紊流的情形,即使紊流速度分布已不呈抛物线也没关系。在层流和紊流的情形下,压力损失都和管壁的应力有关,由管壁应力可以定义所谓的摩擦因子。在水力学的领域中,管壁应力可以用达西-韦史巴赫方程求得,其中摩擦因子表示为和雷诺数和其他物理量的函数。若在层流的情形下:

 \Lambda = {64\over {\it \mathrm{Re}}} \; , \quad\quad \mathrm{Re} = {2\rho v r\over \eta} \; ,
其中
 \Lambda为摩擦因子
Re雷诺数
\rho为流体密度
v为平均流体速度,在层流的情形下会是最大流体速度的一半

上述式子用平均流体速度来定义雷诺数,因此其实用性提高。因为在紊流其最大流体速度很难计算。此公式可以近似达西摩擦因数。
 \Lambda是圆型管子下流速很低的层流下的摩擦因子。韦德曼(Wiedman)曾在1856年独立的进行和此定律型式稍微不同的定律的推导,诺伊曼和哈根巴赫(E. Hagenbach)也曾在1858年推导过型式不完全一様的定律。哈根巴赫是第一个称此定律为泊肃叶定律的人。

泊肃叶定律在
生理学中的血液流变学血液动力学中非常的重要

1891年时L. R. Wilberforce以哈根巴赫的研究为基础,将泊肃叶定律扩展到紊流的领域中。

可压缩流体下的泊肃叶定律

若管中的是可压缩流体,其体积流率及线速度会延著管子变化。流体一般会以出口处的压力来表示,当流体压缩或是膨胀时,流体会作功,温度可能上升或是下降,因此流体流率和流体与外界的热交换有关。若是在等温过程下的理想气体,也就是气体温度和外界平衡时,而且管子两端的压力差很小时,其出口处的体积流率可以表示如下式:

 \Phi = \frac{dV}{dt} = v \pi R^{2} = \frac{\pi R^{4} \left( P_{i}-P_{o} \right)}{8 \eta L} \times \frac{ P_{i}+P_{o}}{2 P_{o}} = \frac{\pi R^{4}}{16 \eta L} \left( \frac{ P_{i}^{2}-P_{o}^{2}}{P_{o}} \right)
其中

 P_{i} 为入口压力
 P_{o} 为出口压力
 L 为管长
 \eta 为动黏度
 R 为半径
 V 为出口处的流体体积
 v 为出口处的流体速度

当流体的马赫数小于0.3时,可以用上式近似实际的体积流率。

上式可以视为是增加一修正系数 \frac{P_{i}+P_{o}}{2} \times \frac{1}{P_{o}} 的泊肃叶定律,修正系数是考虑平均压力相对于出口压力的比例。


和电路的类比

电子一开始也是当作一种流体来了解,水力类比的概念在了解电子电路上仍十分有用。这种类比方式也用来研究流体机械网络的频率响应,其中流体机械网络会以液压回路来表示。

泊肃叶定律对应电路中的
欧姆定律V=IR),其中压力差\Delta P对应电压V,而体积流率\Phi对应电流,则以下的物理量对应电阻

R = \frac{ 8 \eta \Delta x}{\pi r^4}.

一个管子的有效阻力和半径倒数的四次方成正比,因此管子的半俓减半会使管子的阻力变为原来的16倍。

欧姆定律和泊肃叶定律都是对于输运现象的描述。

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