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2017-3-31 03:08
数学的伟大转折——笛卡尔创立解析几何

摘要 : 笛卡尔打破了希腊数学的传统,用代数方法代替传统的几何方法,这是数学史上的一次重大变革。

习斋2017-3-31 03:08910
/来自: 蝌蚪五线谱
17世纪欧洲科学技术的发展向人们提出了许许多多用常量数学难以解决的问题,天体运动和物理运动也提出了用运动的观点来研究圆锥曲线和其他曲线的问题,为此人们寻求解决变量问题的新方法,从而使笛卡尔创立了解析几何学。解析几何的诞生是数学的伟大转折,正如恩格斯所说:“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生。”

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笛卡尔创立了解析几何学(网络图)


早期的坐标概念


在没有把坐标的概念引进数学之前,人们对坐标思想的认识和运用早就有过。我国最早用“井”字表示井周围的土地就是取自坐标的形态。公元120年前后笛卡尔创立了解析几何学

  
古希腊的托勒密曾讨论过球面上的经纬度,我国13、14世纪解多元高次方程组使用的“四元术”,这些都是坐标概念的早期示例。以后出现的棋盘、算盘、街道门牌号等,实际上也是一种坐标系统。

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托勒密画像

  
16世纪末,法国数学家韦达在代数中首先系统地使用字母,他所研究的代数问题,大多数是为解决几何问题而提出来的。之后韦达的学生格塔拉底对几何问题的代数解法作了系统地研究,于1607年和1630年分别发表了《阿波罗尼斯著作的现代阐释》、《数学的分析与综合》的著作。1631年,英国数学家哈里奥特把韦达和格塔拉底的思想加以引伸和系统化。这些都为几何学和代数学的结合,形和数的结合,铺平了道路。

  
费尔马的坐标法

  
1629年法国数学家费尔马在对前人几何研究的反思中,产生了一个想法,认为古人对于轨迹的研究感到困难,其原因只有一个,就是由于他们对轨迹没有给予充分而又一般的表示。他认为,要将轨迹作一般的表示,只能借助于代数。他了解到韦达用代数解决几何问题的作法后,决定把阿波罗尼斯关于圆锥曲线的结果,直接翻译成代数的形式。

  
费尔马所用的一般方法,实质上就是坐标法。他考虑任意曲线和它上面的任意点K,K的位置用A、E两个字母来确定。其中A是从点O沿底线到点Z的距离,E是从Z到K的距离。这实际上是我们现代的斜坐标。但y轴没有明显标出,而且不用负数。他的A、E就相当于我们现在的坐标x、y。

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费尔马画像

  
费尔马通过建立坐标,把平面上的点和一对未知数联系起来。然后在点动成线的思想下,把曲线用一个方程表示出来。他想,未知数A和E实际上是变数,因而联系A和E的方程是不确定的。他便用不同字母代表不同类的数,然后写出联系A和E的各种方程,并指明它们所描绘的各种曲线。费尔马肯定,方程如果是一次的,就代表直线,如果是二次的,就代表圆锥曲线,并给出了直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程。

  
费尔马通过坐标法把几何曲线和代数方程联系起来,从而把几何学和代数学联系起来,这已经接近于解析几何的核心思想。他冲破几何学研究的古典形式的束缚,使几何学向前迈出了一大步。

  
笛卡尔解析几何的诞生

  
几乎是费尔马研究解析几何的同时,法国数学家笛卡尔也在独立地研究着。

  
1596年3月21日,笛卡尔出生在法国图伦一个贵族之家。他从小丧母,父亲是地方议会议员,保姆抚养他成人。笛卡尔8岁进入当时欧洲最负盛名的拉夫累舍公学读书,1612年入波埃顿大学攻读法律,四年后以最优秀的成绩获得法学博士学位。毕业后他来到巴黎当律师,其间,溜到郊区一个僻静的住所埋头研究了两年数学。

  
1617年他参加了奥伦治公爵的军队,部队驻守在荷兰小城布雷达。1618年11月的一天,笛卡尔看到贴在街头海报上征解的一道数学难题,两天后他送去了正确答案,成功地解决了这一难题。这一偶然的机会使他决心终生研究数学。

  
笛卡尔认真地分析了几何学与代数学的优缺点。他认为古希腊人给后人带来的几何方法过于抽象和特殊;欧几里得几何中的每一个证明,都需要一个特殊的新方法,这既“笨拙和不必要”,而且使几何学“失去科学的形象”;又认为当时通行的代数“完全受法则和公式的控制,成为一种混杂和晦暗,阻碍思想”。他准备寻找另一种能概括这两门学科优点的新方法。

  
1619年,部队驻扎在多瑙河畔的诺伊堡小镇上,笛卡尔整天沉迷在画图、计算和思考之中,探索几何与代数的本质联系,各种思路和演算常常使他夜里迟迟不能入睡。11月10日晚,他的思考达到了异常兴奋的地步,连作梦都梦到怎样把代数应用到几何中去的方法。他后来说:“第二天,我开始懂得这惊人发现的基本原理。我终于发现了一种不可思议的科学的基础。”这就是解析几何思想的萌生。

  
笛卡尔在给定的轴上标出x,在与该轴成固定角的线上标出y,并且作出其x、y的值满足给定关系的点,这实际上是引进了“坐标”的概念。通过坐标实现了平面的“算术化”,即平面上的一个点,只要用一个数对(x,y)来表示就行了,反之亦然。再利用坐标方法,把平面上的曲线与一个含有两个未知数的方程联系起来。这样一来,就能把几何问题归结为代数问题,并运用代数方法来研究几何对象。1619年11月10日应算作解析几何最初的诞生日。

  
笛卡尔和费尔马的解析几何在坐标观点以及用方程表示曲线的方法方面基本上是相同的。但是在对待传统数学的态度上,两者是不同的。笛卡尔打破了希腊数学的传统,用代数方法代替传统的几何方法,这是数学史上的一次重大变革,而费尔马却着眼于继承希腊人的思想,认为他自己的工作只是重新表述了阿波罗尼斯的工作。

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解析几何学的完善

当时,多数数学家受旧的观念的束缚,反对把代数和几何混在一起,因而解析几何的思想并没有很快被数学家们接受。笛卡尔的《几何学》于1637年出版后,也没有引起普遍重视。费尔马的著作迟至1679年才出版。

  
笛卡尔去世5年后的1655年,英国数学家沃利斯首先引进了负的纵、横坐标,使得所考虑的曲线的范围扩展到了整个平面。沃利斯进一步完善了坐标法,其著作《论圆锥曲线》引起了数学家的普遍重视,大大传播了解析几何思想。

  
费尔马和笛卡尔提出的坐标系都是不完整的,费尔马没有明确y轴,而笛卡尔只是用了一根x轴,y轴是沿着与x轴成斜角的方向画出的。

  
1691年,雅可布·伯努利发明了另一种坐标。他用一个固定点以及由该点发出的射线为基准,用平面上一点到固定点的连线的长度和这连线与基准的夹角的余弦为点的坐标,这实质上就是现在的极坐标。

  
在笛卡尔x、y轴的基础上,1694年莱布尼兹提出并正式使用纵坐标,而横坐标到18世纪才由沃尔夫等人引入。坐标一词也是莱布尼兹在1692年首创的。1715年,约翰·伯努利引进了现在通用的三个坐标平面,把解析几何从平面推广到空间。


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莱布尼兹画像

  
1745年,欧拉给出了现代形式下的解析几何的系统叙述,这是解析几何发展史上的重要一步。之后,对解析几何发展做出重要贡献的是法国数学家拉格朗日,他在1788年提出了向量概念,引起了数学家与物理学家的极大注意,向量分析的出现立即对解析几何产生深刻的影响,现在向量代数成了空间解析几何的重要内容。

  
19世纪,经典解析几何已经发展得相当完备。这时候,这门学科才正式定名为“解析几何”,以后便流传下来。

  
解析几何的建立在数学史上占有重要的地位,它使变量数学从此走上了历史舞台,它实现了数形关系的沟通。作为一种有效的数学工具,它不仅广泛地被使用于物理学和其他工程技术领域,还常常渗透到各个数学分支,在整个数学中发挥作用,同时,它还可以启发人们提出新的观点。拉普拉斯说的好:“只要代数同几何分道扬镳,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄,但是当这两门科学结合成伴侣时,它们就互相吸取新鲜的活力。从那以后,就以快速的步伐走向完善。”17世纪以来数学的巨大发展,很大程度上归功于解析几何。

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